산술평균과 기하평균에 대하여 | 투자에서 스노볼을 굴리기 위한 기초

Summary

- 투자에 도움이 되는 산술평균 수익률과 기하평균 수익률의 차이점

- 연속 매매를 이어가는 투자 특성상 기하평균 수익률을 높이는 투자가 바람직

- 기하평균 수익률을 높이기 위해서는 변동성과 MDD가 낮은 포트폴리오를 갖기 위해 노력해야 함

 

© iStock

 

｜ 투자로 스노볼 효과(snowball effect)를 내기 위하여

복리를 삼키고 불어난 자산 눈사람을 만들려면 손으로 눈을 모으고 뭉쳐서 작은 눈 뭉치를 만든 뒤, 눈 위에서 굴리며 크기를 키워야 한다. 눈이 가득한 높은 언덕 위에서 작은 눈 뭉치를 굴리면, 내려가는 동안 어느새 커다란 눈덩이가 되어있을 것이다. 투자의 세계에는 '스노볼 효과(snowball effect)'라는 말이 있다. 스노볼 효과는 스노볼이 비탈을 구르며 주변의 눈들을 집어삼키고 불어나듯, 장기투자로 인한 복리의 마법으로 자산이 눈덩이처럼 불어나는 것을 뜻한다.

지난 시간에 주식시장에서 '복리의 마법'을 달성하려면 복리를 활용한 장기투자를 해야 한다고 했다. 투자자는 자신의 포트폴리오 속 평균 투자수익률을 제대로 알아야 장기적으로 계좌의 자산을 불릴 수 있다. 복리의 마법은 '더하기'가 아닌 '곱하기'에서 발생한다. 산술평균은 '더하기'의 계산식이고, 기하평균은 '곱하기'의 계산식이다. 그래서 산술평균 수익률과 기하평균 수익률의 차이를 이해하고 투자의 의사결정 과정에 녹여내야 비로소 복리로 장기투자 성과를 낼 수 있다.

 

｜ 산술평균 수익률과 기하평균 수익률

항상 예상 수익률에 못 미치는 이유 개인투자자가 투자할 때 참고하는 은행이나 증권사, 포털사이트에서 제시하는 펀드 수익률은 주로 직관적으로 이해하기 쉬운 산술평균 수익률로 표기되어 있다. 일반적으로 산술평균 수익률이 기하평균 수익률보다 높기 때문에 수익률이 높아 보이는 착시 효과도 있어서다. 그래서 산술평균 수익률로 표기된 상품을 투자 시에 예상되는 기대수익률로 착각하고 매수하는 경우가 대부분이다.

반면, 기하평균 수익률은 펀드와 포트폴리오의 성적을 더 현실적으로 반영한다. 복리와 변동성의 개념이 반영돼 있기 때문이다. <펀드 A>가 2020년에는 10% 수익이 나고 2021년에는 5%의 손실이 발생했다고 가정해 보자. 산술평균 수익률로 계산하면 <펀드 A>의 2년간 평균 수익률은 5%이다. 그러나, 실제로 <펀드 A>에 2020년에 1억 원을 투자했다면 2021년 말에 원금은 1억 500만 원이 아닌 1억 450만 원으로 불어나 있을 것이다. 2년간 원금 대비 수익률을 계산하면 4.5%에 그친다. 산술평균 수익률인 5%보다 실제 수익률은 더 작은 것을 알 수 있다. 만약 기하평균으로 수익률을 구했다면 정확하게 맞았을 것이다. 왜 이런 현상이 벌어지는 걸까?

 

핵심은 ‘더하기’ 아닌 ‘곱하기’ 평균을 구하는 방식에는 산술평균과 기하평균 두 가지가 있다.

 

​산술평균(arithmetic mean) = N 개의 변수를 모두 합한 후 N으로 나눈 값

기하평균(geometric mean) = N 개의 변수를 모두 곱한 후 N으로 제곱근 한 값

 

산술평균 수익률은 각각의 수익률을 산술평균해서 산출한 수익률을 말하고, 기하평균 수익률은 각각의 수익률을 기하평균해서 산출한 수익률을 말한다. 산술평균 수익률은 각각의 수익률이 개별적으로 발생했다고 생각하고 덧셈을 하고 평균한 기댓값이다. 이는 매 순간의 기대수익률을 의미한다. 대다수 사람이 직관적으로 받아들이기가 쉽다.

그러나 각각의 투자를 ‘독립적 시행’ 개념으로 수익률 계산하기 때문에 장기투자의 관점에서 볼 때 부정확한 측면이 있다. 투자는 한 번만 매매하고 그만하는 것이 아니고 독립적인 매매 결과의 합도 아니기 때문이다. 사실 투자는 종속된 사건들처럼 연속된 매매로 인한 결과의 곱에 가깝기 때문이다.​

기하평균 수익률은 각각의 수익률을 연속적으로 이어 붙여서 발생한 결과라고 생각하고 곱셈으로 평균한 기대값이다. 즉 ‘연속적’으로 매매하며 투자할 때 장기적으로 기대할 수 있는 수익률을 의미한다. 장기투자를 할 때 필요한 복리 개념이 내포된 투자수익률 계산식이라고 할 수 있다. 기하평균 수익률은 변동성을 반영해서 실제 투자 수익의 정확한 계산이 가능하다. 하지만 기하평균을 구하는 계산은 산술평균보다 복잡하고 직관적이지 않다.​

 

｜ 투자의 성과는 한 번만 매매한 결과가 아니다

기하평균 수익률을 활용하기 투자에서 기하평균 수익률이 중요한 이유를 간단한 예시를 통해 알아보겠다. 투자금을 두고 동전을 던져서 앞이 나오면 두 배를 벌고 뒤가 나오면 절반을 잃는 게임을 한다고 생각해 보자. 기대수익률을 알아보기 위해 평균 수익률을 계산해 보면 산술평균 수익률은 25%이고 기하평균 수익률은 0%다. 산술평균 수익률은 게임을 시행하는 독립된 단일 순간의 기대수익률을 의미한다. 게임을 할 때 투자금이 얼마인지, 몇 번째 하는 게임인지 등은 중요하지 않다. 독립적인 게임이 시행되는 시점에서 각각 기대수익률이 25%가 된다는 의미다. 매번 일정한 돈을 가지고 게임을 할 때 기대할 수 있는 수익률이라고 할 수 있다.

반면, 기하평균 수익률은 게임을 할 때 투자금을 재투자하면서 연속적으로 게임을 했을 때 장기적으로 기대할 수 있는 수익률이 얼마인지를 의미한다. 그래서 복리의 개념과 연관을 지어 생각할 수 있다. 기하평균을 활용하면 처음 투자한 투자금으로 게임을 연속해서 할 때 기대할 수 있는 수익률을 알 수 있다. 산술평균은 계산하기 쉽고 이해하기도 쉽다. 하지만 기하평균 수익률이 복리의 개념을 더 잘 반영하고 변동성을 내포하여 계산하기 때문에 투자에 참고로 활용해야 한다.​

 

 

수학적으로 산술평균 수익률은 기하평균 수익률보다 같거나 크다. 변동성이 없는 경우에는 산술평균 수익률과 기하평균 수익률이 같아진다. 하지만 투자에서 대부분의 자산은 가격 변동성을 가지고 있다. 이는 투자할 때 기대되는 기하평균 수익률이 산술평균 수익률보다 항상 작은 값을 갖게 되는 이유가 된다. 변동성이 심하면 산술평균 수익률은 양수인데 기하평균 수익률은 음수인 경우도 있다. 기하평균 수익률이 음수이면 투자를 계속할수록 원금 손실이 일어나게 된다.

 

｜ 산술평균 수익률과 기하평균 평균수익률의 차이 

한탕주의 노렸다가는… 산술평균 수익률과 기하평균 수익률 차이를 이야기할 때 개인적으로 즐겨 사용하는 예시가 있다. 문병로 교수님의 저서 <메트릭 스튜디오>에서 직관적이고 이해하기 쉽게 설명해 주셨는데 한번 인용해 보겠다.

 

 

투자자가 1억 원을 걸고 <룰렛 A>와 <룰렛 B>에 베팅을 해서 룰렛의 결과에 따라 투자 성과가 나는 게임을 예시로 들어보자. 룰렛을 돌려서 나온 배수만큼 투자금이 늘어나거나 줄어든다. 예를 들어 <룰렛 A>에서 3배가 나오면 투자금이 3배가 된다. 반대로 <룰렛 A>를 돌려 0.01배에 걸리면 99% 손실을 입는다.

 

1) 투자자가 1억 원을 내고 1번만 룰렛을 돌릴 때는 <룰렛 A>를 선택하는 것이 2배는 유리하다. 한 번만 시행하는 단일 사건의 기대수익률이기 때문에 산술평균으로 계산하면 된다.

 

룰렛A 의 기대수익률은 (3+2+5+0.01)/4= 2.5

룰렛B 의 기대수익률은 (1.2+1+2+0.8)/4=1.25

 

기대수익률 (산술평균 수익률) = A (2억 5,000만 원) > B (1억 2,500만 원)​

 

2) 투자자가 1억 원을 내고 4번을 연속해서 돌리는 게임을 할 때는 <룰렛 B>를 선택하는 것이 유리하다.​ 게임을 4번 연속하는 동안 4번의 사건은 서로 종속되어 있기 때문에 기하평균으로 계산해야 한다.

 

기대수익률 (기하평균 수익률) = A (3,000만 원) < B (1억 9,000만 원)

 

한 번만 룰렛을 돌렸을 때는 <룰렛 A>가 유리했지만, 4번 연속해서 룰렛을 돌렸을 때는 <룰렛 B>가 압도적으로 유리하다. ​이런 결과는 <룰렛 A>와 <룰렛 B>의 산술평균 수익률과 기하평균 수익률의 차이 때문에 생기게 된다.​

 

<룰렛 A>의 산술평균은 2.5, <룰렛 B>의 산술평균은 1.25이지만

<룰렛 A>의 기하평균은 0.74, <룰렛 B>의 기하평균은 1.18이기 때문이다.

 

그래서 룰렛을 한번 만 돌리면 산술평균이 높은 <룰렛 A>가 유리하지만, 룰렛을 여러 번 돌릴수록 기하평균이 높은 <룰렛 B>가 유리하다.

 

3) 마지막으로 투자자가 1억 원을 내고 40번 연속 돌리는 게임을 하면 기대수익률은 어떻게 될까?

 

기대수익률 (기하평균 평균수익률) = A (669원) << B (681억 원)

 

룰렛 A는 40회 반복 후 기대 수익이 590원으로 원금을 전부 날린 것에 비해

룰렛 B는 40회 반복 후 복리에 복리를 곱해 기대 수익이 681억 원까지 오르게 된다.

 

이렇게 연속된 매매를 이어 가는 투자에서는 포트폴리오의 예상되는 기하평균 수익률이 1 이상이어야 장기투자 시 복리로 총자산이 불어나게 되는 것이다. <룰렛 A>처럼 기하평균 수익률이 1이하가 되면 게임을 계속할수록 결과는 0에 수렴하게 된다.

기하평균 수익률을 높이려면 표준편차가 낮고 기대 수익의 분포가 밀집돼 있어야 하고 그것은 변동성이 낮아야 함을 의미한다. 앞서 예시에서 <룰렛 A>가 <룰렛 B>보다 룰렛 칸의 수치의 변동성이 큰 것을 상기하자. 특히 수익이 마이너스일 때 변동성이 커지므로 MDD(최대 손실폭, 최고점 대비 하락한 폭을 의미)가 중요하다는 걸 알 수 있다. 그래서 투자자는 변동성과 MDD가 낮은 포트폴리오를 만들려고 노력해야 한다. 그러면 예상되는 기하평균 수익률을 높일 수 있어서 장기적으로 성공적인 투자를 하기에 유리하다.

 

｜ 투자에서 스노볼 효과로 복리의 마법을 얻으려면

수익률 높이는 포트폴리오 보통의 개인투자자들은 로그 함수인 기하평균 수익률 보다 산술평균 수익률을 더 직관적으로 받아들이기 때문에 산술평균 수익률만 보고 <룰렛 A>를 연속해서 선택하는 투자를 하기 쉽다.

투자는 하루 이틀 하는 것도 아니고 한두 번 투자한 결과만 가지고 결론이 나는 것도 아니다. 그런데 대부분의 투자자는 예상되는 산술평균 수익률(한번 매매에서 얻을 수 있는 기대 수익률)이 높은 ‘개별 주식’을 충분한 분석도 없이 ‘남의 말’에 따라 투자하는 경우가 많다. ‘큰 거 한방’을 노리면서 변동성이 큰 투자(룰렛 A)를 반복적으로 시행한다면 장기적으로 투자금의 상태가 어떻게 될 건지는 수학적으로 명백한 것이다.

기하평균 수익률을 높이기 위해서는 기대수익률을 높이고 변동성을 낮춰야 한다. 항상 포트폴리오의 변동성을 낮추려는 노력이 습관화돼 있어야 실전 투자에서 장기적으로 유의미한 결과를 얻을 수 있다. 금융 자산은 일반적으로 변동성이 높기 때문에 투자자로서 변동성과 리스크 관리는 성공하기 위한 최소한의 덕목이라고 할 수 있다. 이는 기대수익률이 더 높고 변동성이 더 큰 가상 자산 투자에도 마찬가지로 적용된다. 변동성을 다스리면 가상 자산 투자도 높은 리스크 대비 수익률을 가지고 투자할 수 있다. 포트폴리오의 변동성을 낮추는 여러 방법 중에서 분산투자가 있다. 다음 연재에서는 마지막으로 ‘베팅률의 조정’으로 포트폴리오의 변동성을 어떻게 낮출 수 있는지 알아보겠다.